【题目】我们知道,直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离.类比直线与圆的位置关系,给出如下定义:与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个公共点叫做直线与抛物线相交;直线与抛物线有唯一的公共点叫做直线与抛物线相切,这个公共点叫做切点;直线与抛物线没有公共点叫做直线与抛物线相离.
(1)记一次函数的图像为直线,二次函数的图像为抛物线,若直线与抛物线相交,求的取值范围;
(2)若二次函数的图像与轴交于点、,与轴交于点,直线l与CB平行,并且与该二次函数的图像相切,求切点P的坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)将一次函数解析式代入二次函数解析式中可得出关于x的一元二次方程,由直线与抛物线相交可得出关于b的一元一次不等式,解之即可得出b的取值范围;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,设直线l的解析式为y=x+a,将一次函数解析式代入二次函数解析式中可得出关于x的一元二次方程,由直线与抛物线相切可得出关于a的一元一次方程,解之可得出a的值,解方程组即可求出点P的坐标.
(1)将y=2x+b代入y=x2,整理得:x2﹣2x﹣b=0.
∵直线l与抛物线C相交,∴△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣b)>0,解得:b>﹣1.
(2)当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3,∴点C的坐标为(0,﹣3);
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(3,0).
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),将B(3,0),C(0,﹣3)代入y=mx+n,得:,解得:,∴直线BC的解析式为y=x﹣3.
设直线l的解析式为y=x+a.
将y=x+a代入y=x2﹣2x﹣3,整理得:x2﹣3x﹣(3+a)=0.
∵直线l与二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象相切,∴△=(﹣3)2﹣4×1×[﹣(3+a)]=0,解得:a.
当a时,解方程组 ,得:,∴点P的坐标为().
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上任意一点,点D是AC中点,OD交AC于点E,BD交AC于点F,若BF=1.25DF,则tan∠ABD的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价元千克与时间第天之间的函数关系为,日销售量千克与时问第天之间的函数关系如图所示.
求日销售量y与时间t的函数关系式;
求利润w与时间t的函数关系式;
哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图所示,某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪,检测点设在距离公路10m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°
(1)求B,C之间的距离;(保留根号)
(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:,)
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF:DC=1:4,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为10,求BG的长.
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【题目】如图,已知动点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,直线PQ与x轴,y轴交于P、Q两点,过点A作CD∥x轴,交y轴于点C,交直线PQ于点D,过点A作EB∥y轴交x轴于点B,交直线PQ于点E,若CE∥BD且CA:AE=1:2,QE:DP=1:9,则阴影部分的面积为______.
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】如图,羊年春节到了,小明亲手制作了张一样的卡片,在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字,并随机放入一个不透明的信封中,然后让小芳分三次从信封中摸张卡片(每次摸张,摸出不放回).
小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少?
请通过画树状图或列表,求小芳先后抽取的张卡片分别是“新年好”的概率.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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