Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．

（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF＝∠BAO．若∠BAO＝2∠OBE，求证：AF＝CE；

（2）如图2，若OA＝OB，在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转，且AM＝MN，∠AMN＝90°．连接BN，点P为BN的中点，试猜想OP和MP的数量关系和位置关系，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OP⊥MP且OP＝MP，理由见解析．

【解析】

（1）设∠OBE＝α，∠AEF＝β，证明∠EBC＝∠AEF，EB＝EF，进而可以证明△AEF和△CBE（AAS），利用全等三角形的对应边相等，即可解答；

（2）OP＝MP且OP⊥MP，延长MP至C，且使PC＝MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，证明△MPN≌△CPB（SAS），得到BC＝MN＝AM，∠MNP＝∠CBP，再证明△MOC为等腰直角三角形，根据MP＝CP，即可得到OP⊥MP且OP＝MP．

（1）证明：如图1，

设∠OBE＝α，∠AEF＝β，

∴∠BAO＝∠BEF＝2α，

∵点A、C关于y轴对称，

∴BA＝BC，

∴∠BAO＝∠BCO＝2α，

∵∠AEB＝2α＋β＝∠BCO＋∠EBC，

∴∠EBC＝β，

即∠EBC＝∠AEF，

∵∠BFE＝∠BAO＋∠FEA＝2α＋β，

又∠ABO＝∠CBO＝α＋β，

∴∠FBE＝α＋β＋α＝2α＋β，

∴∠BFE＝∠FBE，

∴EB＝EF，

在△AEF和△CBE中，

，

∴△AEF≌△CBE（AAS）

∴AF＝CE；

（2）OP＝MP且OP⊥MP，

理由如下：

延长MP至C，且使PC＝MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，

∵点P为BN的中点，

∴PN＝PB，

在△MPN和△CPB中，

，

∴△MPN≌△CPB（SAS）

∴BC＝MN＝AM，∠MNP＝∠CBP，

∴MN∥BC，

∵∠AMN＝90°，

∴AD⊥BC，

∴∠MAO＝∠CBO，

∴△MAO≌△CBO(SAS)，

∴∠MOA＝∠COB，MO＝CO，

∴∠MOC＝∠MOB＋∠BOC＝∠MOB＋∠MOA＝∠AOB＝90°，

∴△MOC为等腰直角三角形，

∵MP＝CP，

∴OP⊥MP且OP＝MP．