Question

如图，已知抛物线，顶点记作.首先我们将抛物线关于直线对称翻折过去得到抛物线称为第一次操作，再将抛物线关于直线对称翻折过去得到抛物线称为第二次操作，…，将抛物线关于直线对称翻折过去得到抛物线（顶点记作）称为第n此操作（n=1，2，3…），….设抛物线与抛物线交于两点与，顺次连接、、、四个点得到四边形，抛物线与抛物线交于两点与，顺次连接、、、四个点得到四边形，…，抛物线与抛物线交于两点与，顺次连接、、、四个点得到四边形（k=1，3，5…），….

（1）请分别直接写出抛物线（n=1，2，3，4）的解析式；

（2）一系列四边形 (k=1，3，5…)

为哪种特殊的四边形（说明理由）？它们

都相似吗？如果全都相似，请证明之；如

果不全都相似，请举出一对不相似的反例；

（3）试归纳出抛物线的解析式，无需证明.

并利用你归纳出来的的解析式

求四边形 (k=1，3，5…)

的面积（用含k的式子表示）.

Answer 1

解：（1）；；；；

 （2）根据抛物线的对称性以及翻折的原理不难得出四边形（k=1，3，5…）的两条对角线与互相垂直且平分，故一系列四边形均为菱形；它们并不都相似，反例：四边形和四边形不相似，

理由如下：

不难算出，于是四边形为正方形.

而,,∴，∴四边形为菱形，∴它们不相似.

（3）抛物线的解析式为：，(或.)

由于四边形 (k=1，3，5…)是抛物线关于直线翻折得到抛物线所围成的图形，利用上述结论不难得出：，

，

∴.（或者求解的）

∴.