Question

如图，一次函数y=x-

1

2

与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为（0，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC，求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：

分析：（1）先求得A的坐标为（

1

2

，0），设二次函数的解析式为y=ax²+bx+1，二次函数图象的对称轴为x=1，且过A（

1

2

，0），列出方程组解得a、b的值即可；
（2）先求当y=0时，

4

3

x2-

8

3

x+1=0解得x1=

1

2

，x2=

3

2

，求得B（

3

2

，0），由

y=x- 1 2 y= 4 3 x2- 8 5 +1

解得

x1= 1 2 y1=0

，

x2= 9 4 y2= 7 4

，故C（

9

4

，

7

4

），即可求得三角形ABC的面积．

解答：解：（1）由已知可得y=x-

1

2

与x轴交点A的坐标为（

1

2

，0）
∵二次函数过（0，1）
∴设二次函数的解析式为y=ax²+bx+1
∵二次函数图象的对称轴为x=1，且过A（

1

2

，0）
故

- b 2a =1 ( 1 2 )2a+ 1 2 b+1=0

解得

a= 4 3 b=- 8 3

∴二次函数的解析式为：y=

4

3

x2-

8

3

x+1；
（2）由（1）知函数y=

4

3

x2-

8

3

+1过A（

1

2

，0），
当y=0时，

4

3

x2-

8

3

x+1=0解得x1=

1

2

，x2=

3

2

，
故B（

3

2

，0）
由

y=x- 1 2 y= 4 3 x2- 8 5 +1

解得

x1= 1 2 y1=0

，

x2= 9 4 y2= 7 4

故C（

9

4

，

7

4

）
∴S△ABC=

1

2

(

3

2

-

1

2

)•

7

4

=

7

8

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质．