Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，其对称轴与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），抛物线的对称轴是；（2）点坐标为.理由见解析；（3）在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大.点的坐标为.

【解析】

（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴；

（2）连接交对称轴于点，此时的周长最小,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；

（3）过点N作NE∥y轴交AC于点E，交x轴于点F，过点A作AD⊥NE于点D，设点N的坐标为（t，t2-t+4）（0＜t＜5），则点E的坐标为（t，-t+4），进而可得出NE的长，由三角形的面积公式结合S△CAN=S△NAE+S△NCE可得出S△CAN关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为，

∴，

∴抛物线的对称轴是；

（2）点坐标为.

理由如下：

∵点（0，4），抛物线的对称轴是，

∴点关于对称轴的对称点的坐标为（6，4），

如图1，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小.

设直线的解析式为，

把（6，4），（1，0）代入得，

解得，

∴，

∵点的横坐标为3，

∴点的纵坐标为，

∴所求点的坐标为.

（3）在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大.

设点的横坐标为，此时点，

如图2，过点作轴交于；作于点，

由点（0，4）和点（5，0）得直线的解析式为，

把代入得，则，

此时，

∵，

∴

，

∴当时，面积的最大值为，

由得，

∴点的坐标为.