Question

9．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，点E、点F分别在AB、BD上，且AD=AE=DF，连接DE、AF、EF．
（1）若∠EAF=15°，求∠BDC的度数；
（2）若DE⊥EF，求证：DE=2EF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质即可得到结果．
（2）过A作AG⊥DE于G构造全等三角形，根据等腰三角形的性质得到DE=2DG，通过证明△ADG≌△EDF，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵AD=DF，
∴∠DAF=45°，
∵∠EAF=15°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=30°；

（2）如图，过A作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，
∵AD=AE，
∴DE=2DG，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DAG+∠ADG=∠ADG+∠EDF=90°，
∴∠DAG=∠EDF，
在△ADG与△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠DEF}\\{∠DAG=∠EDF}\\{AD=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△EDF，
∴DG=EF，
∴DE=2EF．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．