Question

14．已知关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+$\frac{1}{2}$m-3=0
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x₁、x₂满足x₁²+mx₁+2x₂=1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式△=（m-3）²+3＞0，即可得到结果；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x₁²+mx₁+2x₂=1，转换为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．

解答 解：（1）∵△=（m-2）²-4×（$\frac{1}{2}m$-3）=（m-3）²+3＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x₁+x₂=2-m，x₁．x₂=$\frac{1}{2}m-3$，x₁²=-（m-2）x₁-$\frac{1}{2}$m+3，
∴x₁²+mx₁+2x₂=-（m-2）x₁-$\frac{1}{2}$m+3+mx₁+2x₂=2（x₁+x₂）-$\frac{1}{2}$m+3=2（2-m）-$\frac{1}{2}$m+3=1，
∴m=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．