Question

9．我们定义：当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，$\frac{m}{n}$）为“完美点”，已知点A（0，5）与点B都在直线y=-x+b上，且点B是“完美点”，若点C也是“完美点”且BC=$\sqrt{2}$，则点C的坐标是（2，1）或（4，3）．

Answer 1

分析 由m+n=mn变式为$\frac{m}{n}$=m-1，可知P（m，m-1），所以在直线y=x-1上，点A（0，5）在直线y=-x+b上，求得直线y=-x+5，进而求得B（3，2），设C（a，a-1），然后根据勾股定理列出关于a的方程，解方程即可求得．

解答 解：∵m+n=mn且m，n是正实数，
∴$\frac{m}{n}$+1=m，即$\frac{m}{n}$=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美点”B在直线y=x-1上，
∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，
∴b=5，
∴y=-x+5，
∵“完美点”B在直线y=-x+5上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（3，2），
∵点C是“完美点”，
∴点C在直线y=x-1上，
设C（a，a-1），
∵BC=$\sqrt{2}$，
根据勾股定理，（3-a）²+（2-a+1）²=（$\sqrt{2}$）²，
解得a₁=2，a₂=4，
∴C（2，1）或（4，3）．
故答案为：（2，1）或（4，3）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用等，求得B点的坐标是本题的关键．