Question

【题目】在，中，，连接，是中点，连接

（1）如图1，若三点在同一直线上，，已知，求线段的长；

（2）如图2，若，求证：为等腰直角三角形；

（3）如图3，若，请判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）为等边三角形，理由见解析

【解析】

（1）连接CF，利用等腰三角形的性质，可证得AB=AC， ED=CE，利用直角三角形的性质，易证CF=BF，再根据SSS证明△ACF≌△ABF，利用全等三角形的性质，就可求出∠CAF的度数，同理可得到∠CEF的度数，由此可得到△AEF是等腰直角三角形，可求出AC，CE的长，然后求出AF的长.（2）取BC中点M，CD中点N，连接AM，MF，EN，FN，易证FM为△BCD的一条中位线利用中位线定理可得到FM∥CD，FM=CN，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形MCNF为平行四边形，再利用SAS证明△AMF≌△FNE，利用全等三角形的性质，可证得AF=EF，∠1=∠3，然后证明∠AFE=90°，继而可证得结论.（3）取BC中点M，CD中点N，连接AM，MF，EN，FN，同理可证四边形MCNF为平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得CM=FN， MF=CN， ∠CMF=∠FNC，再结合已知条件可证得AM=FN，∠AMF=∠FNE，然后利用全等三角形的判定和性质，可证得AF=EF，∠1=∠3，再求出∠AFE=60°，即可判断△AEF的形状.

（1）连接，

在中， ，

，

三点在同一直线上，

，

为中点，

，

在和中，

，

，

，

同理： ，

为等腰直角三角形，

，

（2）证明：取中点，的中点，连接 ，

为中点，

为的一条中位线，

，

四边形为平行四边形， ，

在中，为的中点，

，

同理： ，

，

，

和中，

，

，

，

，

为等腰直角三角形，

（3）证明：取的中点，的中点，连接 ，

为中点，

为的一条中位线，

，

四边形为平行四边形， ，

在中，为的中点，∠ABC=30°

，

同理： ，

，，

和中，

，

，

， ，

，

为等边三角形.