Question

一次函数y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），P是第一象限内的一动点，若以P、O、B为顶点的三角形与OAB相似，则满足条件的点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：因为∠AOB=90°，所以以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似需分三种情况进行讨论：①当∠OBP=90°时，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②当∠OPB=90°时，过点O作OP⊥BC于点P，过点P作PM⊥OA于点M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．

解答：解：∵一次函数y=kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=5．
以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似时，分三种情况：
①当∠OBP=90°时，如图．
若△BPO∽△OAB，则

BP

OA

=

BO

OB

=1，BP=OA=4，
∵OB=3，
∴P₁（4，3）；
若△BOP∽△OAB，则

BO

OA

=

BP

OB

，BP=

9

4

，
∴P₂（

9

4

，3）；
②当∠OPB=90°时，如图．
过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．
若△PBO∽△OBA，则∠BOP=∠BAO，

PO

OA

=

OB

AB

，
∴OP=

4×3

5

=

12

5

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=∠BAO，
∴OM=OP•sin∠OPM=

12

5

×

3

5

=

36

25

，PM=OP•cos∠OPM=

12

5

×

4

5

=

48

25

，
∴P₃（

36

25

，

48

25

）；
若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO，∠POM=∠BAO．
∴PM=OM•tan∠POM=

36

25

×

3

4

=

27

25

，
∴P₄（

36

25

，

27

25

）；
③当∠POB=90°时，点P在x轴上，x轴上的点不属于任何象限，所以不符合要求．
综合所述，符合条件的点有四个，分别是：P₁（4，3），P₂（

9

4

，3），P₃（

36

25

，

48

25

），P₄（

36

25

，

27

25

）．
故答案为P₁（4，3），P₂（

9

4

，3），P₃（

36

25

，

48

25

），P₄（

36

25

，

27

25

）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，难度适中．运用分类讨论、数形结合、方程思想是解题的关键．