Question

【题目】问题提出：如图（1），在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求S正方形MNPQ ． 问题探究：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
（1）若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长为；这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系；（填“＞”，“=”“或＜”）；通过上述的分析，可以发现S正方形MNPQ与S△FSB之间的关系是：
（2）问题解决：求S正方形MNPQ ．
（3）拓展应用：如图（3），在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF=1，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△PQR，求S△PQR ． （请仿照上述探究的方法，在图3的基础上，先画出图形，再解决问题）．

Answer 1

【答案】
（1）a；=；S正方形MNPQ=4S△FSB
（2）解：∵S△FSB= ×1×1= ，

∴S正方形MNPQ=4S△FSB=4× =2

（3）解：如图所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形（无缝隙，不重叠），

∴S△PRQ=S△ADG+S△BHE+S△CFI=3S△ADG，

如图，过点G作GJ⊥BA于J，

根据∠ADG=∠BDP=30°，∠DAF=60°=∠GAJ可得，∠ADG=∠AGD=30°，

∴AD=AG=1，

∴GJ= AG= ，

∴S△ADG= AD×GJ= ×1× = ，

∴S△PQR=3S△ADG=3× = ．

【解析】解：（1）问题探究： ∵AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，
∴AE=DW，
∴AE+DE=DW+DE=a，即AD=WE=a，
∵拼成一个新的正方形无缝隙，不重叠，
∴这个新正方形的边长为a；
∵所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为 a，
每个等腰直角三角形的面积为： a a= a2 ，
∴拼成的新正方形面积为：4× a2=a2 ，
即新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
∵新正方形的面积=4×S△MSG=4×（S△FSB+S四边形MFBG），
原正方形ABCD的面积=S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG ，
∴4×（S△FSB+S四边形MFBG）=S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG ，
即S正方形MNPQ=4S△FSB；
所以答案是：a，=，S正方形MNPQ=4S△FSB；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．