【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点G,H分别是BC、CD边上的点,直线GH与AB、AD的延长线相交于点E,F,连接AG、AH.
(1)当BG=2,DH=3时,则GH:HF= , ∠AGH=°;
(2)若BG=3,DH=1,求DF、EG的长;
(3)设BG=x,DH=y,若△ABG∽△FDH,求y与x之间的函数关系式,并求出y的取值范围.
【答案】
(1)1:3;90
(2)解:∵正方形ABCD的边长为4,BG=3,DH=1,
∴CG=1,CH=3,
∵CG∥DF,CH∥BE,
∴△CGH∽△BGE∽△DFH,
∴ = = ,即 = = ,
解得BE=9,DF= ,
∴Rt△BEG中,EG= = =3
(3)解:∵正方形ABCD的边长为4,BG=x,DH=y,
∴CG=4﹣x,CH=4﹣y,
由(1)可得,△FDH∽△GCH,而△ABG∽△FDH,
∴△ABG∽△GCH,
∴ = ,即 = ,
∴y与x之间的函数关系式为:y= x2﹣x+4,
∵ = ,
∴4﹣y= =﹣ +x,
∴当x=﹣ =2时,4﹣y有最大值,且最大值为﹣ ×4+2=1,
∴0<4﹣y≤1,
解得3≤y<4.
【解析】解:(1)解:∵正方形ABCD的边长为4,BG=2,DH=3, ∴CG=2,CH=1,
∵DF∥CG,
∴△FDH∽△GCH,
∴ = = ,
∵Rt△GCH中,GH2=CG2+CH2=5,
Rt△ABG中,AG2=AB2+BG2=20,
Rt△ADH中,AH2=AD2+DH2=25,
∴GH2+AG2=AH2 ,
∴△AGH是直角三角形,且∠AGH=90°.
所以答案是:1:3,90
(1)根据正方形ABCD的边长为4,BG=2,DH=3,可得CG=2,CH=1,再根据DF∥CG,得出△FDH∽△GCH,根据相似三角形的性质可得GH:HF的值,最后根据勾股定理的逆定理,判定△AGH是直角三角形,且∠AGH=90°即可;(2)根据正方形ABCD的边长为4,BG=3,DH=1,得出CG=1,CH=3,再根据CG∥DF,CH∥BE,可得△CGH∽△BGE∽△DFH,最后根据相似三角形的性质以及勾股定理,求得DF、EG的长;(3)根据正方形ABCD的边长为4,BG=x,DH=y,得出CG=4﹣x,CH=4﹣y,由(1)可得,△FDH∽△GCH,而△ABG∽△FDH,进而得出△ABG∽△GCH,根据相似三角形的对应边成比例,可得y与x之间的函数关系式为:y= x2﹣x+4,最后运用二次函数的性质求得3≤y<4即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识,掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a,以及对勾股定理的逆定理的理解,了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
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【题目】问题提出:如图(1),在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求S正方形MNPQ . 问题探究:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图(2)).
(1)若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则新正方形的边长为;这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系;(填“>”,“=”“或<”);通过上述的分析,可以发现S正方形MNPQ与S△FSB之间的关系是:
(2)问题解决:求S正方形MNPQ .
(3)拓展应用:如图(3),在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF=1,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△PQR,求S△PQR . (请仿照上述探究的方法,在图3的基础上,先画出图形,再解决问题).
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【题目】如图,A,B两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形,分别转动A盘、B盘各一次.转动过程中,指针保持不动,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.请用列表或画树状图的方法,求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之积小于6的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是 .
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【题目】在平面直角坐标系中,已知A(﹣4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知点P是⊙O外一点,PB切⊙O于点B,BA 垂直OP于C,交⊙O于点A,连接PA、AO,延长AO,交⊙O于点E.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若tan∠CAO= ,且OC=4,求PB的长.
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