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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点G,H分别是BC、CD边上的点,直线GH与AB、AD的延长线相交于点E,F,连接AG、AH.
(1)当BG=2,DH=3时,则GH:HF= , ∠AGH=°;
(2)若BG=3,DH=1,求DF、EG的长;
(3)设BG=x,DH=y,若△ABG∽△FDH,求y与x之间的函数关系式,并求出y的取值范围.

【答案】
(1)1:3;90
(2)解:∵正方形ABCD的边长为4,BG=3,DH=1,

∴CG=1,CH=3,

∵CG∥DF,CH∥BE,

∴△CGH∽△BGE∽△DFH,

= = ,即 = =

解得BE=9,DF=

∴Rt△BEG中,EG= = =3


(3)解:∵正方形ABCD的边长为4,BG=x,DH=y,

∴CG=4﹣x,CH=4﹣y,

由(1)可得,△FDH∽△GCH,而△ABG∽△FDH,

∴△ABG∽△GCH,

= ,即 =

∴y与x之间的函数关系式为:y= x2﹣x+4,

=

∴4﹣y= =﹣ +x,

∴当x=﹣ =2时,4﹣y有最大值,且最大值为﹣ ×4+2=1,

∴0<4﹣y≤1,

解得3≤y<4.


【解析】解:(1)解:∵正方形ABCD的边长为4,BG=2,DH=3, ∴CG=2,CH=1,
∵DF∥CG,
∴△FDH∽△GCH,
= =
∵Rt△GCH中,GH2=CG2+CH2=5,
Rt△ABG中,AG2=AB2+BG2=20,
Rt△ADH中,AH2=AD2+DH2=25,
∴GH2+AG2=AH2
∴△AGH是直角三角形,且∠AGH=90°.
所以答案是:1:3,90

(1)根据正方形ABCD的边长为4,BG=2,DH=3,可得CG=2,CH=1,再根据DF∥CG,得出△FDH∽△GCH,根据相似三角形的性质可得GH:HF的值,最后根据勾股定理的逆定理,判定△AGH是直角三角形,且∠AGH=90°即可;(2)根据正方形ABCD的边长为4,BG=3,DH=1,得出CG=1,CH=3,再根据CG∥DF,CH∥BE,可得△CGH∽△BGE∽△DFH,最后根据相似三角形的性质以及勾股定理,求得DF、EG的长;(3)根据正方形ABCD的边长为4,BG=x,DH=y,得出CG=4﹣x,CH=4﹣y,由(1)可得,△FDH∽△GCH,而△ABG∽△FDH,进而得出△ABG∽△GCH,根据相似三角形的对应边成比例,可得y与x之间的函数关系式为:y= x2﹣x+4,最后运用二次函数的性质求得3≤y<4即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识,掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a,以及对勾股定理的逆定理的理解,了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

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(2)问题解决:求S正方形MNPQ
(3)拓展应用:如图(3),在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF=1,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△PQR,求SPQR . (请仿照上述探究的方法,在图3的基础上,先画出图形,再解决问题).

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