【题目】在平面直角坐标系中,已知A(﹣4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:令二次函数y=ax2+bx+c,
则 ,
∴ ,
∴过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+2
(2)
解:以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(﹣ ,0),
∴O′C= ,
OO′= ;
∵CD为⊙O′切线
∴O′C⊥CD,
∴∠O′CO+∠OCD=90°,∠CO'O+∠O'CO=90°,
∴∠CO'O=∠DCO,
∴△O'CO∽△CDO,
∴ = ,即 = ,
∴OD= ,
∴D坐标为( ,0)
(3)
解:存在,
抛物线对称轴为x=﹣ ,
设满足条件的圆的半径为r,则E的坐标为(﹣ +r,|r|)或F(﹣ ﹣r,r),
而E点在抛物线y=﹣ x2﹣ x+2上,
∴r=﹣ (﹣ +r)2﹣ (﹣ +r)+2;
∴r1=﹣1+ ,r2=﹣1﹣ (舍去);
故以EF为直径的圆,恰好与x轴相切,该圆的半径为
【解析】(1)已知了抛物线过A,B,C三点,可根据三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式.(2)由于CD是圆的切线,设圆心为O′,可连接O′C,在直角三角形O′CD中科根据射影定理求出OD的长,即可得出D的坐标.(3)可假设存在这样的点E、F,设以线段EF为直径的圆的半径为|r|,那么可用半径|r|表示出E,F两点的坐标,然后根据E,F在抛物线上,将E,F的坐标代入抛物线的解析式中,可得出关于|r|的方程,如果方程无解则说明不存在这样的E,F点,如果方程有解,可用得出的r的值求出E,F两点的坐标.
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.
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【题目】如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为cm.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点G,H分别是BC、CD边上的点,直线GH与AB、AD的延长线相交于点E,F,连接AG、AH.
(1)当BG=2,DH=3时,则GH:HF= , ∠AGH=°;
(2)若BG=3,DH=1,求DF、EG的长;
(3)设BG=x,DH=y,若△ABG∽△FDH,求y与x之间的函数关系式,并求出y的取值范围.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣2x
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 0 | ﹣1 | … |
(1)请在表内的空格中填入适当的数;
(2)请在所给的平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x的图象;
(3)当x再什么范围内时,y随x的增大而减小;
(4)观察y=x2﹣2x的图象,当x在什么范围内时,y>0.
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【题目】如图,E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q.若S△APD=15cm2 , S△BOC=25cm2 , 则阴影部分的面积为cm2 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,直线y=﹣ x﹣6与x轴、y轴分别相交于A,B两点.
(1)求出A,B两点的坐标;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得
S△PDE= S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】抛物线y= x2+bx+c经过点A(﹣4,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线m交抛物线于P、Q两点,其中点P位于第二象限,点Q在y轴的右侧.
(1)求D点坐标;
(2)若∠PBA= ∠OBC,求点P的坐标;
(3)设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,0),P是第一象限内任意一点,连接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,则我们把(m°,n°)叫做点P 的“双角坐标”.例如,点(1,1)的“双角坐标”为(45°,90°).
(1)点( , )的“双角坐标”为;
(2)若点P到x轴的距离为 ,则m+n的最小值为 .
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