【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,直线y=﹣ x﹣6与x轴、y轴分别相交于A,B两点.
(1)求出A,B两点的坐标;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得
S△PDE= S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:对于直线y=﹣ x﹣6,
当x=0,y=﹣6;
当y=0,得0=﹣ x﹣6,解得x=﹣8.
故A(﹣8,0),B(0,﹣6);
(2)
解:在Rt△AOB中,AB= =10,
∵∠AOB=90°,
∴AB为⊙M的直径,
∴点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),
∵MC∥y轴,MC=5,
∴C(﹣4,2),
设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+2,
把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a=﹣ ,
∴抛物线的解析式为y=﹣ (x+4)2+2,即y=﹣ x2﹣4x﹣6,
(3)
解:存在.
如图,
当y=0时,﹣ (x+4)2+2=0,解得x1=﹣2,x2=﹣6,
∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),
S△ABC=S△ACM+S△BCM= ×CM×8=20,
设P(t,﹣ x2﹣4x﹣6),
∵S△PDE= S△ABC,
∴ (﹣2+6)|﹣ t2﹣4t﹣6|= ×20,
即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1,
当﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1,解得t1=﹣4+ ,t2=﹣4﹣ ,此时P点坐标为(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,﹣1);
当﹣ t2﹣4t﹣6=1,解得t1=﹣4+ ,t2=﹣4﹣ ,此时P点坐标为(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,1).
综上所述,P点坐标为(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,﹣1)或(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,1)时,使得S△PDE= S△ABC.
【解析】(1)根据一次函数与坐标轴交点坐标求法得出答案即可;(2)利用顶点式由B点坐标求出二次函数解析式即可;(3)首先求出△ABC的面积,进而求出D,E坐标,设P(t,﹣ x2﹣4x﹣6),根据S△PDE= S△ABC , 得到|﹣ t2﹣4t﹣6|=1,分两种情况讨论即可求出P点坐标.
【考点精析】利用勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案,需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知A(﹣4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/小时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由.(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了维护海洋权益,新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度,一天,我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻,同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域.如图所示,AB=60( )海里,在B处测得C在北偏东45°的方向上,A处测得C在北偏西30°的方向上,在海岸线AB上有一灯塔D,测得AD=120( )海里.
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC、BC(结果保留根号)
(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,我在A处海监船沿AC前往C处盘查,图中有无触礁的危险?
(参考数据: =1.41, =1.73, =2.45)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了解“足球进校园”活动开展情况,某中学利用体育课进行了定点射门测试,每人射门5次,所有班级测试结束后,随机抽取了某班学生的射门情况作为样本,对进球的人数进行整理后,绘制了不完整的统计图表,该班女生有22人,女生进球个数的众数为2,中位数为3.
女生进球个数的统计表
进球数(个) | 人数 |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | x |
3 | y |
4 | 4 |
5 | 2 |
(1)求这个班级的男生人数;
(2)补全条形统计图,并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数;
(3)该校共有学生1880人,请你估计全校进球数不低于3个的学生大约有人.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点P是⊙O外一点,PB切⊙O于点B,BA 垂直OP于C,交⊙O于点A,连接PA、AO,延长AO,交⊙O于点E.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若tan∠CAO= ,且OC=4,求PB的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,且OA=1,OC= ,在第二象限内,以原点O为位似中心将矩形AOCB放大为原来的 倍,得到矩形A1OC1B1 , 再以原点O为位似中心将矩形A1OC1B1放大为原来的 倍,得到矩形A2OC2B2…,以此类推,得到的矩形A100OC100B100的对角线交点的纵坐标为 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com