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【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,直线y=﹣ x﹣6与x轴、y轴分别相交于A,B两点.

(1)求出A,B两点的坐标;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得
SPDE= SABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:对于直线y=﹣ x﹣6,

当x=0,y=﹣6;

当y=0,得0=﹣ x﹣6,解得x=﹣8.

故A(﹣8,0),B(0,﹣6);


(2)

解:在Rt△AOB中,AB= =10,

∵∠AOB=90°,

∴AB为⊙M的直径,

∴点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),

∵MC∥y轴,MC=5,

∴C(﹣4,2),

设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+2,

把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣ (x+4)2+2,即y=﹣ x2﹣4x﹣6,


(3)

解:存在.

如图,

当y=0时,﹣ (x+4)2+2=0,解得x1=﹣2,x2=﹣6,

∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),

SABC=SACM+SBCM= ×CM×8=20,

设P(t,﹣ x2﹣4x﹣6),

∵SPDE= SABC

(﹣2+6)|﹣ t2﹣4t﹣6|= ×20,

即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1,

当﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1,解得t1=﹣4+ ,t2=﹣4﹣ ,此时P点坐标为(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,﹣1);

当﹣ t2﹣4t﹣6=1,解得t1=﹣4+ ,t2=﹣4﹣ ,此时P点坐标为(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,1).

综上所述,P点坐标为(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,﹣1)或(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,1)时,使得SPDE= SABC


【解析】(1)根据一次函数与坐标轴交点坐标求法得出答案即可;(2)利用顶点式由B点坐标求出二次函数解析式即可;(3)首先求出△ABC的面积,进而求出D,E坐标,设P(t,﹣ x2﹣4x﹣6),根据SPDE= SABC , 得到|﹣ t2﹣4t﹣6|=1,分两种情况讨论即可求出P点坐标.
【考点精析】利用勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案,需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2

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(2)求点D的坐标;
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(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,我在A处海监船沿AC前往C处盘查,图中有无触礁的危险?
(参考数据: =1.41, =1.73, =2.45)

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女生进球个数的统计表

进球数(个)

人数

0

1

1

2

2

x

3

y

4

4

5

2


(1)求这个班级的男生人数;
(2)补全条形统计图,并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数;
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