Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴的右交点为A，顶点D在矩形OABC的边BC上，当y≤0时，x的取值范围是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直线y=mx+n经过抛物线的顶点D，该直线在矩形OABC内部分割出的三角形的面积记为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c当y≤0时，x的取值范围是1≤x≤5．
∴抛物线与x轴交于（1，0），（5，0）
∴
解得：b=-6 c=5；

（2）∵b=-6 c=5，
∴抛物线的解析式为y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴点D的坐标为（3，-4），
∵直线y=mx+n经过抛物线的顶点D，
∴3m+n=-4，
即：n=-3m-4，
∴直线y=mx+n的解析式为y=mx-3m-4，
设直线DE与AB交于点E，
∴E点的坐标为（5，2m-4），
∴BD=2 AB=4 AE=4-2m BE=2m，
∴S=BD•BE=±2m，
∵点E的纵坐标-5＜2m-4＜0
解得：-＜m＜2且m≠0
∴自变量的取值范围为：-＜m＜2且m≠0，
分析：（1）根据抛物线y=x²+bx+c当y≤0时，x的取值范围是1≤x≤5求得抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），利用待定系数法求解析式即可；
（2）首先利用配方法求得D点的坐标，然后求得E点的坐标，表示出线段BD、AB、AE及BE的长，利用三角形的面积计算方法即可求得S与m之间的函数关系式．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是正确的将点的坐标转化为线段的长，体现了代数知识与几何知识的融会贯通．