Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；3．

【解析】试题（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；

（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=ACAF，进而求出AD．

试题解析：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．

∵BC与⊙O相切于一点D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODB=90°=∠C，

∴OD∥AC，

∵∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵OA=OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴AE=AO=0D，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵OA=OD，

∴四边形AODE是菱形．

（2）解：设⊙O的半径为r．

∵OD∥AC，

∴△OBD∽△ABC．

∴，即8r=6（8﹣r）．

解得r=，

∴⊙O的半径为．

如图2，连接OD、DF．

∵OD∥AC，

∴∠DAC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠DAC=∠DAO，

∵AF是⊙O的直径，

∴∠ADF=90°=∠C，

∴△ADC∽△AFD，

∴，

∴AD2=ACAF，

∵AC=6，AF=，

∴AD2=×6=45，

∴AD==3．