Question

12．如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ．
（2）判断△APQ的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC为等边三角形，得到AB=AC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．由三角形的外角的性质得到∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）；

（2）解：△APQ为等边三角形，
理由：∵△ABP≌△ACQ，
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键．