Question

如图，A（0，

3

），B（-1，0），C为x轴上一点，四边形ABCD为菱形．

（1）求C点坐标；
（2）点O′为AC的中点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿B→A→D方向以2cm/s的速度运动，点Q沿B→C方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒，连PQ，是否存在实数t，使PQ正好经过O′？若存在，求出t值；若不存在，说明理由；
（3）点E为x轴正半轴上一动点，当EF⊥AB于F时，求

OF

AE

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）如图1，要求点C的坐标，只需求出OC的长，OB已知，只需求出BC即AB长，只需在Rt△AOB中运用勾股定理就可解决问题．
（2）若PQ正好经过O′，如图2，易证△AO′P≌△CO′Q，则有AP=CQ，从而建立关于t的方程，解这个方程就可解决问题．
（3如图3，易证△AOB∽△EFB，则有

BO

BF

=

BA

BE

，从而可证到△FBO∽△EBA，然后运用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

∵A（0，

3

），B（-1，0），
∴OA=

3

，OB=1．
∵∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=

3+1

=2．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AB=2，∴OC=BC-OB=2-1=1，
∴C点坐标为（1，0）．

（2）若PQ正好经过O′，如图2．

∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，
∴∠PAO′=∠QCO′，∠APO′=∠CQO′．
在△AO′P和△CO′Q中，

∠PAO′=∠QCO′ AP=CQ ∠APO′=∠CQO′

，
∴△AO′P≌△CO′Q，
∴AP=CQ．
由题可得：AP=2t-2，QC=BC-BQ=2-t，
则有2t-2=2-t，
解得：t=

4

3

．
∴当实数t=

4

3

时，PQ正好经过O′．

（3）如图3，

∵∠BFE=∠BOA=90°，∠ABO=∠EBF，
∴△AOB∽△EFB，
∴

BO

BF

=

BA

BE

．
∵∠FBO=∠EBA，
∴△FBO∽△EBA，
∴

OF

AE

=

OB

AB

=

1

2

．
∴

OF

AE

的值为

1

2

．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质是解决第（3）小题的关键．