Question

如图，直线BC与半径为2的⊙O相切于点D，A是⊙O上一点，AB交⊙O于点E，AC交⊙O于点F，BC∥EF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，求EF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）如图，连接OD．利用切线的性质、垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系证得结论；
（2）连接OE．由三角函数和垂径定理可将EF的长求出．

解答：（1）证明：如图，连接OD交EF于点M．
∵直线BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
又BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EM=FM．
∴

ED

=

FD

，
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC；

（2）解：连接OE．由（1）知，AD平分∠BAC，OD⊥EF．
∵∠BAC=60°，
∴∠EAD=30°
∴∠EOD=2∠EAD=60°，
∴∠COE=60°．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=

3

2

×2=

3

，
∵EF=2EM，
∴EF=2

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．