Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离；
（4）在（3）的条件下，该抛物线上是否存在点M，使得△MPQ的面积为64？若存在请求出M的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据图象可得出A、B两点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出对称轴和顶点坐标．
（3）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，P，Q关于抛物线的对称轴对称，那么两点的纵坐标相等，因此P点到x轴的距离同Q到x轴的距离相等，均为m的绝对值．
（4）设M的坐标为（n，n²-4n-6），根据题干可知，M点可以在PQ上方或者PQ下方，根据面积公式S_△MPQ=

1

2

•PQ•h=64，可求得M点坐标．

解答：解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9，
分别代入y=ax²-4x+c
得

-1=a×(-1)2-4×(-1)+c -9=a×32-4×3+c

，
解得

a=1 c=-6

，
故二次函数的表达式为：y=x²-4x-6．

（2）对称轴为x=2；
顶点坐标为（2，-10）．

（3）将（m，m）代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6，
解得m₁=-1，m₂=6．
∵m＞0，
∴m₁=-1不合题意，舍去．
∴m=6，
∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，
∴点Q到x轴的距离为6．

（4）设M的坐标为（n，n²-4n-6），
由（3）可知，P点坐标为（6，6），Q点坐标为（-2，6），
故PQ=8，
∵S_△MPQ=64，即S_△MPQ=

1

2

•PQ•h=64，
∴h=16，
其中M点可以在PQ上方或者PQ下方
故h为M点与P点的纵坐标之差的绝对值，
即h=|n²-4n-6-6|，
故|n²-4n-12|=16
解得：n=2或2（1-2

2

）或2（1+2

2

）
故存在M点坐标（2，-10）、（2-4

2

，22）、（2+4

2

，22），可以使得△MPQ的面积为64．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，以及二次函数的对称轴与顶点坐标的求解，难度不大，先求出函数解析式是解题的关键．