Question

等边△ABC的边长为1，点E、F分别在边AB、AC上，沿EF将AEF翻折，使点A恰好落在BC上的点D，已知AE：AF=5：4，求BD长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,等边三角形的性质

专题：

分析：首先根据题意作出图形，根据翻折变换的性质及相似三角形的判定定理来证明△BDE∽△CFD，进而找出BD、CF之间的数量关系；利用余弦定理求出线段BD的长．

解答：解：如图，由题意得：△AEF≌△DEF，
∴DE=AE，DF=AF；∠EDF=∠A；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
∴∠EDF=∠B=∠C=60°；
∴∠BED+∠BDE=∠CDF+∠BDE=180°-60°=120°，
∴∠BED=∠CDF；
又∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴

BD

CF

=

DE

DF

；
又∵DE=AE，DF=AF，且AE：AF=5：4，
∴BD：CF=5：4；
设BD=5m，则CF=4m，
∴CD=1-5m，DF=AF=1-4m；
由勾股定理得：
DF²=CD²+CF²-2CD•CF•cos60°，
即(1-4m)2=(1-5m)2+(4m)2-2(1-5m)(4m)×

1

2

，
整理得：45m²-6m=0，
解得：m=

2

15

或m=0（舍去）；
∴BD的长为

2

3

．

点评：该命题以等边三角形为载体，以翻折变换为手段，以考查相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．