Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的中点，点E、F分别在BC、AC边上运动，且保持AF=CE，连接DE，DF，EF，CD
（1）求证：△DEF是直角三角形；
（2）若AC=8，求四边形DECF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AD=CD，利用三线合一及等腰三角形的性质得到∠CDE=∠A=45°，再由AF=CE，利用SAS得到三角形ACF与三角形CED全等，利用全等三角形的对应边及对应角相等得到DE=DF，∠ADF=∠CDE，利用等式的性质得到DE与DF垂直，即可确定出三角形DEF为等腰直角三角形；
（2）由AC=BC=8，利用勾股定理求出AB的长，根据三角形ACF与三角形DEC全等，得到两三角形面积相等，四边形DECF面积=三角形CFD面积+三角形CDE面积，等量代换即为三角形ACD面积，求出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD，∠CDE=∠A=45°，
在△AFD和△CED中，

AF=CE ∠A=∠ECD AD=CD

，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDF=∠CED+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，
则△DEF为等腰直角三角形；
（2）∵△AFD≌△CED，
∴△AFD与△CED面积相等，
在Rt△ABC中，AC=BC=8，
根据勾股定理得：AB=

82+82

=8

2

，
∴AD=BD=CD=4

2

，
则S_{四边形DECF}=S_△ADF+S_△CFD=S_△CED+S_△CFD=S_△ACD=

1

2

AD•CD=16．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．