Question

5．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=3，CA=4，AB=5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C．
（1）△ABC的面积=6，AB边上的高等于$\frac{12}{5}$；
（2）若旋转的角度θ=90°-∠A，试说明：AB∥CB₁；
（3）如图2，点E是AC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁．当线段EF₁的长度分别等于$\frac{2}{5}$和6时，请仿照图2分别画出草图，并对点F和点F₁的位置加以说明．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的面积公式求出△ABC的面积=$\frac{1}{2}$CB•CA=6；由直角三角形面积的计算方法求出斜边设AB边上的高即可；
（2）由旋转的性质得：△ABC≌△A₁B₁C．得出∠B₁=∠B，由旋转的角度θ=90°-∠A=∠BCB₁，∠B+∠A=90°，得出∠B=∠BCB₁，得出AB∥CB₁即可；       
（3）当CF⊥AB且F₁在AC边上时，由（1）得：CF₁=CF=$\frac{12}{5}$，求出CE=$\frac{1}{2}$AC=2，即可得出EF₁ 的长；
当F与点A重合且F₁在AC的延长线上时，由旋转的性质得：CF₁=CA=4，得出EF₁=C F₁+CE=6即可．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，CB=3，CA=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$CB•CA=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
设AB边上的高为h，
则△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•h=6，
∴5h=12，h=$\frac{12}{5}$，
即AB边上的高等于$\frac{12}{5}$；
故答案为：6，$\frac{12}{5}$；
（2）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△A₁B₁C
∴∠B₁=∠B，
∵旋转的角度θ=90°-∠A=∠BCB₁，∠B+∠A=90°，
∴∠B=∠BCB₁，
∴AB∥CB₁；
（3）解：当CF⊥AB且F₁在AC边上时，线段EF₁的长度等于$\frac{2}{5}$；理由如下：
如图1所示：
由（1）得：CF₁=CF=$\frac{12}{5}$，
∵点E是AC边的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EF₁=CF₁-CE=$\frac{12}{5}$-2=$\frac{2}{5}$；
当F与点A重合且F₁在AC的延长线上时，线段EF₁的长度等于6；理由如下：
如图2所示：
由旋转的性质得：CF₁=CA=4，
∴EF₁=C F₁+CE=4+2=6．

点评 本题是三角形综合题目，考查了直角三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定、三角形面积的计算方法等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3），根据题意画出图形是解决问题（3）的关键．