Question

【题目】如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．

（1）求证BE＝DE；

（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；

（3）△BEF的周长为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF⊥ON，理由见解析；（3）24

【解析】

（1）根据正方形的性质证明△BCE≌△DCE即可；

（2）由第一题所得条件和已知条件可推出∠EDC＝∠CBN，再利用90°的代换即可证明；

（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，结合已知条件推出DF和BF的长，再根据第一题结论得出△BEF的周长等于DF加BF即可得出答案．

解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，

∴CA平分∠BCD，BC＝DC，

∴∠BCE＝∠DCE＝45°，

∵CE＝CE，

∴△BCE≌△DCE（SAS）；

∴BE＝DE；

（2）DF⊥ON，理由如下：

∵△BCE≌△DCE，

∴∠EBC＝∠EDC，

∵∠EBC＝∠CBN，

∴∠EDC＝∠CBN，

∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2+∠CBN＝90°，

∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；

（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAG+∠BAO=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠DAG=∠ABO，

又∵∠MON=90°，DG⊥OM，

∴△ADG≌△ABO，

∴DM=AO，GA=OB=5，

∵AB=13，OB=5，

根据勾股定理可得AO=12，

由（2）可知DF⊥ON，

又∵∠MON=90°，DG⊥OM，

∴四边形OFDM是矩形，

∴OF=DG=AO=12，DF=OM=17，

由（1）可知BE＝DE，

∴△BEF的周长=DF+BF=17+（12-5）=24．