Question

已知a，b，c为△ABC的三边，如果一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：根的判别式,勾股定理的逆定理

专题：

分析：先把原方程化为一般形式，再由根的判别式△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=0，整理得出b²+c²=a²，由勾股定理逆定理得出△ABC的形状即可．

解答：解：一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0可变形为：（a+c）x²+2bx+a-c=0，
∵关于x的一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有两个相等的实数根，
∴△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=0，
整理得b²+c²=a²，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形．

点评：此题考查一元二次方程根的判别式和勾股定理逆定理的运用，关键是把原方程变形为（a+c）x²+2bx+a-c=0．