Question

7．如图，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于点C，点E从B向C运动，过点E作ED⊥AE，交l于D．
（1）求证：∠A=∠DEC；
（2）当BE长度为多少时，△ABE≌△ECD？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=90°．根据垂直的定义和平角的定义得出∠AEB+∠DEC=90°，再利用同角的余角相等即可证明∠A=∠DEC；
（2）当BE=5时，△ABE≌△ECD．理由是：由于BC=8，BE=5，那么EC=AB=3，又∠B=∠ECD=90°，∠A=∠DEC，根据ASA即可得出△ABE≌△ECD．

解答 （1）证明：∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AEB=90°．
∵ED⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠A=∠DEC；

（2）解：当BE=5时，△ABE≌△ECD．理由如下：
∵BC=8，BE=5，
∴EC=3，
∴EC=AB．
∵AB⊥BC，l⊥BC，
∴∠B=∠ECD=90°．
在△ABE与△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DEC}\\{AB=EC}\\{∠B=∠ECD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECD．

点评 本题考查三角形全等的判定方法，直角三角形的性质，垂直的定义，平角的定义，余角的性质，掌握判定两个三角形全等的方法是解题的关键．