Question

17．如图所示，已知直线l的表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；
（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即与x轴的交点y=0，与y轴的交点x=0，求出A，B两点的坐标；
（2）由AO与BO的长，利用勾股定理求出AB的长，根据移动时间为t，表示出AP与AQ，分两种情况考虑：①由∠QAP=∠BAO，得到△APQ∽△AOB；②由∠QAP=∠BAO，得到△AQP∽△AOB，分别求出t的值即可；
（3）过Q点向x轴引垂线，垂足是M，求得QM，再根据APQ的面积=$\frac{1}{2}$×QM×AP，可以得到△APQ的面积关于t的函数解析式，根据二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{4}{3}$x+8，
令x=0，得y=8；令y=0，得x=6，
∴A，B的坐标分别是（6，0），（0，8）；

（2）如图所示，由BO=8，AO=6，根据勾股定理得AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
当移动的时间为t时，AP=t，BQ=2t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，
∴①当$\frac{PA}{OA}$=$\frac{QA}{BA}$时，△APQ∽△AOB，
此时，$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴t=$\frac{30}{11}$（秒）；
∵∠QAP=∠BAO，
②当$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$时，△APQ∽△AOB，
此时，$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
∴t=$\frac{50}{13}$（秒），
综上所述，当t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒时，△APQ与△AOB相似；

（3）如图所示，过点Q作QM⊥AO于M，则QM∥BO，
∴△AMQ∽△AOB，
∴$\frac{QM}{BO}$=$\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{QM}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得QM=$\frac{4}{5}$（10-2t），
∴设△APQ的面积为S，则
S=$\frac{1}{2}$×AP×QM
=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4}{5}$（10-2t）
=-$\frac{4}{5}$t²+4t，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，且最大值为5，
即当t为$\frac{5}{2}$时，△APQ的面积最大，最大面积是5．

点评 此题属于相似形综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，熟练掌握一次函数的性质及相似三角形的对应边成比例是解本题的关键．解题时注意分类思想的灵活运用．