Question

7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=3AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\sqrt{2}$；③S_△ABF：S_{四边形BCDF}=1：4．其中．正确的是①③⑤（填序号）．

Answer 1

分析 ①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB；故①正确；
②由AE=AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=2；故②错误；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，得出b=$\sqrt{2}$a，进而得出tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$故④错误；
⑤由AE∥BC，推出$\frac{AE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，设S_△AEF=S_△DEF=m，推出S_△ABF=2m，S_△BFC=4m，S_矩形ABCD=12m，S_矩形BCDF=8m，推出S_△ABF：S_{四边形BCDF}=1：4，故⑤正确；

解答 解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②错误；

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 $\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即b=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$故④错误；
∵AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，设S_△AEF=S_△DEF=m，
∴S_△ABF=2m，S_△BFC=4m，S_矩形ABCD=12m，S_矩形BCDF=8m，
∴S_△ABF：S_{四边形BCDF}=1：4，故⑤正确；
故答案为①③⑤．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．