Question

19．如图所示，数轴上依次有三点A，O，B，点A位于原点O的左侧且相距40个单位长度，BO=30个单位长度，点P从A点出发以3个单位长度/秒的速度匀速向B点运动，点Q从B点出发，以a 个单位长度/秒的速度匀速向A点运动，两点同时出发（P、Q只在线段AB上运动）．若BO表示点O与点B之间的距离，PO表示点P与点O之间的距离，QO表示点Q与点O之间的距离．
（1）2秒后点P与点Q的距离为|64-2a|；（用含a的代数式表示）
（2）当a=2时，求经过多少秒后PO=QO；
（3）当a=$\frac{9}{4}$且t≠$\frac{40}{3}$时，$\frac{PO}{QO}$的值随时间t的变化而改变吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出2秒后P、Q两点所表示的数，再根据两点间的距离公式可得；
（2）设t秒后，PO=QO，表示出a=2时，P、Q两点所表示的数，继而由PO=QO列出关于t的方程，解之可得；
（3）表示出a=$\frac{9}{4}$且t≠$\frac{40}{3}$时PO、QO的长，由$\frac{PO}{QO}=\frac{|-40+3t|}{|30-\frac{9}{4}t|}$=$\frac{|3t-40|}{|-\frac{3}{4}|•|3t-40|}$=$\frac{4}{3}$可得答案．

解答 解：（1）2秒后点P表示数-40+2×3=-34，点Q表示数30-2a，
则PQ=|30-2a-（-34）|=|64-2a|，
故答案为：|64-2a|；

（2）设t秒后，PO=QO，
当a=2时，点P表示数-40+3t，点Q表示30-2t，
根据题意知，|-40+3t|=|30-2t|，
解得：t=14或t=10，
答：经过10秒或14秒后PO=QO；

（3）当a=$\frac{9}{4}$时，点P表示数-40+3t，点Q表示数30-$\frac{9}{4}$t，
则PO=|-40+3t|、QO=|30-$\frac{9}{4}$t|，
∵t≠$\frac{40}{3}$，
∴$\frac{PO}{QO}=\frac{|-40+3t|}{|30-\frac{9}{4}t|}$=$\frac{|3t-40|}{|-\frac{3}{4}|•|3t-40|}$=$\frac{4}{3}$，
故当a=$\frac{9}{4}$且t≠$\frac{40}{3}$时，$\frac{PO}{QO}$的值不随时间t的变化而改变．

点评 本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，根据两点间的距离公式表示出所需线段的长度是解题的关键．