Question

【题目】如图所示，以BC为直径的⊙O中，点A、E为圆周上两点，过点A作AD⊥BC，垂足为D，作AF⊥CE的延长线于点F，垂足为F，连接AC、AO，已知BD＝EF，BC＝4．

（1）求证：∠ACB＝∠ACF；

（2）当∠AEF＝　 　°时，四边形AOCE是菱形；

（3）当AC＝　 　时，四边形AOCE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60；（3）.

【解析】

（1）证明△ABD≌△AEF，可得AB＝AE，则结论得证；

（2）根据菱形的判定方法，当OC＝CE＝AE＝OA时，四边形OAEC为菱形，则可判断△OCE为等边三角形，所以∠OCE＝60°，可得∠AEF＝60°；

（3）利用正方形的判定方法，当∠AOC＝90°时，四边形AOCE为正方形，则根据正方形的性质计算出此时AC的长．

解：（1）证明：∵∠ABC+∠AEC＝∠AEC+∠AEF＝180°，

∴∠ABC＝∠AEF，

在△ABD和△AEF中，，

∴△ABD≌△AEF（ASA）

∴AB＝AE，

∴∠ACB＝∠ACF；

（2）60，

如图所示，连接OE，

∵四边形AOCE是菱形，

∴OA＝OC＝CE＝AE，

∵OC＝CE＝OE，

∴△ECO是等边三角形，

∴∠OCE＝60°，

∴AE∥BC，

∴∠AEF＝∠OCE＝60°．

故答案为：60；

（3）∵BC＝4，

∴OC＝＝2，

∵四边形AOCE是正方形，

∴∠AOC＝90°，

∴．

故答案为：．