Question

如图①，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN。

⑴     求证：△AND≌△CBM；

⑵     请连接MF、NE，求证：四边形MFNE是平行四边形；

⑶     点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图②所示，若PQ=CQ，

PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长。

                                                            

                                                                 图①

                                                                  图②

Answer 1

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。                      

∴∠DAC=∠BCA。                                   ……（1分）

又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF=∠DAC，∠ECM=∠BCM=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM。                                  ……（1分）

在△AND和△CBM中，

      ∠D=∠B

      AD=BC

      ∠DAN=∠BCM

∴△AND≌△CBM(ASA)                             ……（1分）

⑵证明:∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。               ……（1分）

又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， ∠NFA=∠D=90°，∠MEC∠B=90°，

∴FN=EM，FN∥EM。                               ……（1分）

∴四边形MFNE是平行四边形                         ……（1分）

⑶∵AB=4，BC=3，∴AC=5。                                   

设DN=x，则由S△ADC=S△AND+S△NAC得 1.5x+2.5 x=6，

解得x=1.5，即DN=BM=1.5。                                    ……（1分）

过点N作NH⊥AB于H，则HM=2.5-1.5=1。

在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM=。        ……（1分）

∵PQ∥MN，DC∥AB，

∴四边形NMQP是平行四边形。                              

∴NP=MQ，PQ= NM=。                                

 又∵PQ=CQ，∴CQ=。                                   ……（1分）

在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。

 ∴NP=MQ=0.5。∴PC=2.5-0.5=2