Question

【题目】如图所示，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．

（1）如图1，当直线l与直线MA垂直时，试探究AB，AD，BE之间的数量关系并说明理由；

（2）如图2，当直线l与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB，AD，BE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）AD＋BE＝AB（2）不成立，ADAB＝BE．

【解析】

（1）延长AC交BE于Q，求出AB＝BQ，根据等腰三角形性质求出AC＝CQ，推出AD＝EQ，即可得出答案．

（2）延长AC交NB于点F，同①可得AB＝BF，再由全等三角形的判定定理得出△ACD≌△FCE，故可得出AD＝EF，由此可得出结论．

解：（1）AB＝AD＋BE；理由如下：

延长AC交BE于Q，如图1所示：

∵AC平分∠MAB，

∴∠MAC＝∠BAC，

∵AM∥BN，

∴∠MAC＝∠AQB，

∴∠BAC＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BC平分∠ABN，

∴AC＝CQ，

∵AM∥BN，

∴△ACD∽△QCE，

∴

∴AD＝EQ，

∴AD＋BE＝AB．

（2）（1）的结论不成立，ADAB＝BE．理由如下：

延长AC交BE于点F，如图2所示：

∵AM∥BN，

∴∠MAC＝∠AFB．

∵AC是∠MAB的平分线，

∴∠MAC＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠AFB，

∴AB＝BF．

∵AC⊥BC，

∴AC＝CF．

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠EFC，

在△ACD与△FCE中，

，

∴△ACD≌△FCE（ASA），

∴AD＝EF，

∴ADAB＝BE．