Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A、B不重合），D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E．

（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；

（2）求证：；

（3）若点C、点A到y轴的距离相等，且s△CDE=1.6时，求抛物线和直线BE的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A(-m，0)，b(2m，0)；（2）见解析；（3）y=-x2+2x+8，

【解析】

（1）解x的方程-x2+mx+2m2=0，x1=-m，x2=2m．因为点A在点B的左边，且m＞0，所以A(-m，0)，b(2m，0)；

（2）过点O作OG//AC交BE于点G．则△CED∽△OGD，所以； 由△BOG∽△BAE，得．因为OB=2m，AB=3m，代入可求出结论；

（3）连接OE，易得S△OCE=2S△CED，因为，所以，即S△AOC=5S△CED=8，点C（m，2m2），由S△AOC=OA|yC|=求得m=2．进而可求出抛物线的解析式和直线BE的解析式．

解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，

∴关于x的方程-x2+mx+2m2=0有两个不相等的实数根x1和x2；

解得x1=-m，x2=2m．

∵点A在点B的左边，且m＞0，

∴A(-m，0)，b(2m，0)；

（2）过点O作OG∥AC交BE于点G．

∴△CED∽△OGD，∴；

∵DC=DO，

∴CE=OG；

∵OG//AC，

∴△BOG∽△BAE，∴．

∵OB=2m，AB=3m，

∴．

（3）连接OE．

∵D是OC的中点，

∴S△OCE=2S△CED，

∵，∴，∴S△AOC=5S△CED=8，

∵点C、点A到y轴的距离相等，点C在抛物线y=-x2+mx+2m2上，

∴点C(m，2m2)，

∵S△AOC=OA|yC|= =，

∴m3=8，解得m=2．

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8，

∴点B(4，0)，点C(2，8)．

∴此时D为(1，4)，

设直线BE的解析式为:y=kx+b，

∴，

解得

，

∴直线BE的解析式为：．