Question

【题目】已知锐角△ABC内接于圆O，D为弧AC上一点，分别连接AD、BD、CD，且∠ACB＝90°﹣∠BAD．

（1）如图1，求证：AB＝AD；

（2）如图2，在CD延长线上取点E，连接AE，使AE＝AD，过E作EF垂直BD的延长线于点F，过C作CG⊥EC交EF延长线于点G，设圆O半径为r，求证：EG＝2r；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若AC＝BC，DE＝4CD，当△ACD的面积为10时，求DG的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）欲证明AB＝AD，只要证明∠ABD＝∠ADB即可；（2）如图2中，连接BE交AC于L，连接AO，延长AO交BD于J，交BE于T，连接CO，延长CO交⊙O于K，连接BK．想办法证明△CBK≌△ECG（AAS）可得结论；（3）如图3中，在图2的基础上作AH⊥DE于H．假设CD＝k，DE＝4k，则CE＝CB＝CA＝5k，利用勾股定理求出AH，再利用三角形的面积公式求出K的值，再求出EG，CG即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵∠∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝90°﹣∠BAD，

∴∠ADB＝90°﹣BAD，

∵∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣（90°﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD．

（2）证明：如图2中，连接BE交AC于L，连接AO，延长AO交BD于J，交BE于T，连接CO，延长CO交⊙O于K，连接BK．

∵AE＝AD，

∴∠ADE＝∠AED，

∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ADE＝∠ABC＝∠AED，

∵AB＝AD，

∴，

∴∠ACB＝∠ACE，AJ⊥BD，

∵AC＝AC，

∴△ACB≌△ACE（AAS），

∴CB＝CE，

∵AB＝AE，

∴AC⊥BE，

∴∠ALB＝∠AJB＝90°，

∵∠ATL＝∠BTJ，

∴∠TAL＝∠TBJ，

∵AB＝AD＝AE，

∴∠BED＝∠BAD＝∠BAJ，

∵∠EDF＝∠DBE+∠DEB，

∴∠EDF＝∠BAC，

∵∠K＝∠BAC，

∴∠K＝∠EDF，

∵CG⊥CE．EG⊥BF，

∴∠DFE＝∠GCG＝90°，

∵∠DEF+∠EDF＝90°，∠DEF+∠G＝90°，

∴∠G＝∠EDF＝∠K，

∵∠CBK＝∠GCE＝90°，

∴△CBK≌△ECG（AAS），

∴EG＝CK＝2r，

（3）解：如图3中，在图2的基础上作AH⊥DE于H．

∵DE＝4CD，

∴可以假设CD＝k，DE＝4k，则CE＝CB＝CA＝5k，

∵AE＝AD，AH⊥DE，

∴DH＝EH＝2k，CH＝CD+DH＝3k，

∴AH＝，

AD＝

∵S△ACD＝CDAH＝k4k＝10，

∴k＝（负根舍弃），

∴CD＝，AC＝BC＝EC＝5，AD＝AB＝10，

设CK交AB于J，OA＝OC＝r，则BJ＝AJ＝5，CJ＝

在Rt△AOJ中，则有r2＝52+（10﹣r）2，

解得r＝ ，

∴EG＝2r＝，

∴CG＝

∴DG＝