【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,﹣1),图象与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,点E为直线BC上的任意一点,过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F,问是否存在点E使△DEF为直角三角形?若存在,求出点E坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)存在满足条件的点E,其坐标为(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1),理由见解析
【解析】
(1)可设抛物线解析式为顶点式y=a(x-2)2-1(a≠0),把C点坐标代入上式,可求得a的值,进而求得抛物线解析式;
(2)根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况,当∠DFE=90°时,可知DF∥x轴,则可求得E点横坐标,代入直线BC解析式可求得E点坐标;当∠EDF=90°时,可知:点F在直线AD上,求出直线AD解析式,联立直线AD和抛物线解析式可求得点E的横坐标,代入直线BC可求得点E的坐标.
(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2﹣1(a≠0),
把C(0,3)代入可得:a(0﹣2)2﹣1=3,解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3;
(2)在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得x2﹣4x+3=0,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
设直线BC解析式为y=kx+3,把B(3,0)代入得:3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
由(1)可知抛物线的对称轴为:直线x=2,此时y=﹣2+3=1,
∴D(2,1),
∴AD2=2,AC2=10,CD2=8,
∵AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°,
由题意知EF∥y轴,则∠FED=∠OCB≠90°,
∴△DEF为直角三角形,分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况,
①当∠DFE=90°时,即DF∥x轴,则D、F的纵坐标相同,如图1,
∴F点纵坐标为1,
∵点F在抛物线上,
∴x2﹣4x+3=1,解得x=2±,即点E的横坐标为2±,
∵点E在直线BC上,
∴当x=2+时,y=﹣x+3=1﹣,
当x=2﹣时,y=﹣x+3=1+,
∴E点坐标为(2+,1﹣)或(2﹣,1+);
②当∠EDF=90°时,且∠ADC=90°,如图2,
∴点F在直线AD上,
∵A(1,0),D(2,1),
∴直线AD解析式为y=x﹣1,
∴直线AD与抛物线的交点即为F点,
联立直线AD与抛物线解析式得:x2﹣4x+3=x﹣1,解得x=1或x=4,
当x=1时,y=﹣x+3=2,
当x=4时,y=﹣x+3=﹣1,
∴E点坐标为(1,2)或(4,﹣1),
综上可知存在满足条件的点E,其坐标为(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1).
图1 图2
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【题目】某厂家一种摩托车如图所示,它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°.
(1)该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m,求大灯A与地面距离约是多少?
(2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s,从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离,某人以60km/h的速度驾驶该车,突然遇到危险情况,立即刹车直到摩托车停止,在这个过程刹车距离是m,请判断(1)中的该车大灯A的地面高度是否能满足最小安全距离的要去,若不能该如何调整A的高度?(参考数据:sin8°≈,tan8°≈,sin10°≈,tan10°≈)
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【题目】如图,已知二次函数的图象与轴交于、两点(点在点的左侧),与轴交于点,且,顶点为.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点为线段上的一个动点,过点作轴的垂线,垂足为,若,四边形的面积为,求关于的函数解析式,并写出的取值范围;
(3)探索:线段上是否存在点,使为等腰三角形?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说呀理由.
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【题目】当x≤3时,函数y=x2﹣2x﹣3的图象记为G,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M,若直线y=x+b与图象M有且只有两个公共点,则b的取值范围是_____.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接CE、OE,连接AE,交OD于点F,若AB=2,∠ABC=600,则AE的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】(1)
(2)如图,小方在清明假期中到郊外放风筝,风筝飞到C 处时的线长BC为20米,此时小方正好站在A处,并测得∠CBD=60°,牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面的高度.(,,结果精确到0.1米)
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【题目】如图,抛物线的对称轴为,与轴的一个交点在和之间,其部分图象如图所示,则下列结论:(1):(2);(3)(为任意实数);(4);5)点是该抛物线上的点,且,其中正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】已知锐角△ABC内接于圆O,D为弧AC上一点,分别连接AD、BD、CD,且∠ACB=90°﹣∠BAD.
(1)如图1,求证:AB=AD;
(2)如图2,在CD延长线上取点E,连接AE,使AE=AD,过E作EF垂直BD的延长线于点F,过C作CG⊥EC交EF延长线于点G,设圆O半径为r,求证:EG=2r;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,若AC=BC,DE=4CD,当△ACD的面积为10时,求DG的长度.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为_____.
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