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【题目】如图,抛物线yax2+bx+ca≠0)的顶点坐标为(2,﹣1),图象与y轴交于点C03),与x轴交于AB两点.

1)求抛物线的解析式;

2)设抛物线对称轴与直线BC交于点D,连接ACAD,点E为直线BC上的任意一点,过点Ex轴的垂线与抛物线交于点F,问是否存在点E使DEF为直角三角形?若存在,求出点E坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1yx24x+3;(2)存在满足条件的点E,其坐标为(2+1)或(21+)或(12)或(4,﹣1),理由见解析

【解析】

1)可设抛物线解析式为顶点式y=a(x-2)2-1a≠0),把C点坐标代入上式,可求得a的值,进而求得抛物线解析式;

2)根据题意可分∠DFE90°和∠EDF90°两种情况,当∠DFE90°时,可知DFx轴,则可求得E点横坐标,代入直线BC解析式可求得E点坐标;当∠EDF90°时,可知:点F在直线AD上,求出直线AD解析式,联立直线AD和抛物线解析式可求得点E的横坐标,代入直线BC可求得点E的坐标.

1)∵抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),

∴可设抛物线解析式为yax221a≠0),

C03)代入可得:a02213,解得a1

∴抛物线解析式为y=(x221x24x+3

2)在yx24x+3中,令y0可得x24x+30,解得x1x3

A10),B30),

设直线BC解析式为ykx+3,把B30)代入得:3k+30,解得k=﹣1

∴直线BC解析式为y=﹣x+3

由(1)可知抛物线的对称轴为:直线x2,此时y=﹣2+31

D21),

AD22AC210CD28

AD2+CD2AC2

∴∠ADC90°

由题意知EFy轴,则∠FED=∠OCB≠90°

∴△DEF为直角三角形,分∠DFE90°和∠EDF90°两种情况,

①当∠DFE90°时,即DFx轴,则DF的纵坐标相同,如图1,

F点纵坐标为1

∵点F在抛物线上,

x24x+31,解得x,即点E的横坐标为

∵点E在直线BC上,

∴当x2+时,y=﹣x+31

x2时,y=﹣x+31+

E点坐标为(2+1)或(21+);

②当∠EDF90°时,且∠ADC90°,如图2,

∴点F在直线AD上,

A10),D21),

∴直线AD解析式为yx1

∴直线AD与抛物线的交点即为F点,

联立直线AD与抛物线解析式得:x24x+3x1,解得x1x4

x1时,y=﹣x+32

x4时,y=﹣x+3=﹣1

E点坐标为(12)或(4,﹣1),

综上可知存在满足条件的点E,其坐标为(2+1)或(21+)或(12)或(4,﹣1).

图1 图2

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