Question

9．如图，已知等腰△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）．
（1）求OB的长度及抛物线的函数解析式；
（2）向下平移直线OB得到直线m，直线m恰好经过点A，且与y轴交于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）将抛物线向上平移k个单位（k可以为负数，即向下平移|k|单位长度），若平移后的抛物线与四边形ODAB的四边恰好只有两个公共点时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过A作AC⊥OB于C，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据三角函数得到D（0，-3），过O作OE⊥AD于E，根据三角函数得到$\frac{DE}{OD}$=$\frac{3}{5}$，从而得到运动时间t的值；
（3）①利用抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k与直线AD只有一个公共点，利用一元二次方程根的判别式得出k的值；②利用抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k与直线OB只有一个公共点得出k的值，进而得出k的取值范围；③若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k过D（0，-3）点，则k=-3，进而得出k的取值范围．

解答 解：（1）过A作AC⊥OB于C．
∵AB=AO=4，
tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{4}{5}$×4=$\frac{16}{5}$，
∴OB=$\frac{32}{5}$，
∵抛物线过A（4，0）与点（-2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{4a-2b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x；
（2）由题意得：OB∥AD，
∴∠AOB=∠OAD，
∵OA=4，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，
∴OD=3，
即D（0，-3），
过O作OE⊥AD于E，
∵PQ⊥AD，OB∥AD，
∴四边形OEQP为矩形，
∴OP=EQ=t，
∴DE=DQ-EQ=2t-t=t，
∵OD⊥OA，OE⊥AD，
∴∠DOE=∠OAD，
∵tan∠OAD=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠DOE=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DE}{OD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{9}{5}$；
（3）∵原抛物线为y=$\frac{1}{2}$x²-2x，
∴平移后的抛物线为y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k，
∵A（4，0）D（0，-3）∴直线AD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
①若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k与直线AD只有一个公共点，则：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+k}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{11}{4}$x+k+3=0，
∴△=（$\frac{11}{4}$）²-4×$\frac{1}{2}$（k+3）=0，解得：k=$\frac{25}{32}$；
②若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k与直线OB只有一个公共点，则：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+k}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{11}{4}$x+k=0，
∴△=（$\frac{11}{4}$）²-4×$\frac{1}{2}$k=0，
解得：k=$\frac{121}{32}$；
③若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x+k过D（0，-3）点，则k=-3．
综上所述，当平移后的抛物线与四边形ODAB的四边恰好只有两个公共点时，实数k的取值范围是$\frac{25}{32}$＜k＜$\frac{121}{32}$或-3＜k＜0．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程根的判别式，锐角三角函数，方程思想和分类思想的应用，综合性较强，由一定的难度．