Question

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，DB垂直于x轴，CD=CB，M，N分别是线段BD，BC上的点，且∠CMN=∠DBC，
（1）求此抛物线的解析式；
（2）试说明△CDM相似于△MNB；
（3）当△CMN为等腰三角形时，求BM的长；
（4）点M从D运动到B的过程中，N点经过路径的长为多少．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（3）分三种情形讨论即可．
（4）设BM=x，BN=y则DM=4-x，由△CDM∽△MBN，得$\frac{CD}{BM}$=$\frac{DM}{BN}$，即$\frac{\sqrt{13}}{x}$=$\frac{4-x}{y}$，整理得x²-4x+$\sqrt{13}$y=0，根据方程有解，由△≥0，求出BN的最大值即可解决问题．

解答 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}-b+c=0}\\{-6+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=$\frac{4}{3}$，c=2．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2．

（2）∵CD=CB，
∴∠D=∠BBM．
又∵∠CMN=∠DBC，
∴∠CMN=∠D．
∵∠DCM+∠D=∠CMN+∠NMB，
∴∠DCM=∠NMB．
∴△CDM∽△MBN．

（3）①NM=CN时，∵∠NCM=∠CMN=∠CBD=∠D，∠CBM=∠CBD，
∴△CBM∽△DBC，
∴$\frac{BC}{DB}$=$\frac{BM}{BC}$，
∴BM=$\frac{B{C}^{2}}{DB}$，
∵CD=BC，BD⊥AB，
∴D（3，4），
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BD=4，
∴BM=$\frac{13}{4}$．
②MC=MN时，∵△CDM∽△MBN，
∴△CDM≌△△MBN，
∴BM=CD=$\sqrt{13}$．
③∵∠CNM=∠CBM+∠BMN＞∠CMN，
∴CM＞CN，
综上所述，当△CMN为等腰三角形时，BM的长为$\frac{13}{4}$或$\sqrt{13}$．

（4）设BM=x，BN=y则DM=4-x，
∵△CDM∽△MBN，
∴$\frac{CD}{BM}$=$\frac{DM}{BN}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{x}$=$\frac{4-x}{y}$，
整理得x²-4x+$\sqrt{13}$y=0，
∵方程有解，
∴△≥0，
∴16-4$\sqrt{13}$y≥0，
∴y≤$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
∴BN的最大值为$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
∵点M从D运动到B的过程中，N点由0到达最大值，再由最大值到达0，
∴点N运动的路径长为2×$\frac{4\sqrt{13}}{13}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程，根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的难点是BN的最大值的确定，属于中考压轴题．