Question

已知关于x的一元二次方程x²+2px-p²-1=0的两个实数根为x₁和x₂．
（1）若此方程的两根之和不大于两根之积，求p的值；
（2）若p=-1，求x₁³+2x₂²+2x₂的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：（1）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2p，x₁x₂=-p²-1，则-2p≤-p²-1，变形有（p-1）²≤0，然后根据非负数的性质得p=1；
（2）当p=-1时，原方程变形为x²-2x-2=0，根据一元二次方程根的定义得到x₁²-2x₁-2=0，x₂²-2x₂-2=0，即x₁²=2x₁+2，x₂²=2x₂+2，原式可化简为x₁（2x₁+2）+2（2x₂+2）+2x₂=2x₁²+2x₁+6x₂+4=6（x₁+x₂）+8，然后根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2，再利用整体代入的方法计算即可．

解答：解：（1）根据题意得x₁+x₂=-2p，x₁x₂=-p²-1，
∵方程的两根之和不大于两根之积，
∴-2p≤-p²-1，
即p²-2p+1≤0，
∴（p-1）²≤0，
∴p=1；
（2）当p=-1时，原方程变形为x²-2x-2=0，
∵x²-2x-2=0的两个实数根为x₁和x₂，
∴x₁²-2x₁-2=0，x₂²-2x₂-2=0，
即x₁²=2x₁+2，x₂²=2x₂+2，
∴x₁³+2x₂²+2x₂=x₁（2x₁+2）+2（2x₂+2）+2x₂
=2x₁²+2x₁+6x₂+4
=2（2x₁+2）+2x₁+6x₂+4
=6（x₁+x₂）+8，
∵x₁+x₂=2，
∴x₁³+2x₂²+2x₂=6×2+8=20．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．