Question

如图，在△ADE中，AE=DE，以DE中点C为圆心，CD为半径的圆分别交AD、AE于F、M两点．
（1）求证：AF=DF；
（2）过F作⊙C的切线交ED延长线于B，交AE于N，求证：BN⊥AE；
（3）连AB，若BD=9，且

DF

DE

=

3

5

，求△ABD的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由DE为圆C的直径可得EF⊥AD，再由等腰三角形的性质即可证明AF=DF；
（2）由圆的切线性质可得∠BFC=90°，进而可证明CF∥AE，所以∠BNE=∠BFC=90°，即BN⊥AE；
（3）作AH⊥BE，因为∠BFD=∠BEF，∠FBD=∠EBF，所以△BDF∽△BEF，由相似三角形的性质可得DF：EF=BD：BE，进而可求出BE=12，DE=BE-BD=12-9=3，所以DF=

9

5

，EF=

12

5

，利用S_△ABD=

1

2

BD×AH计算即可．

解答：（1）证明：∵DE是直径，
∴∠DFE=90°，
即EF⊥AD，
∵AE=DE，
∴AF=DF
（2）证明：∵BN是圆C的切线，
∴CF⊥BF，
即∠BFC=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AEF=∠DEF=∠CEF，
∵CF=CE，
∴∠CFE=∠CEF=∠AEF，
∴CF∥AE，
∴∠BNE=∠BFC=90°，
∴BN⊥AE；
（3）∵△DEF是直角三角形，DF：DE=3：5，
∴DF：EF=3：4，
∵∠BFD=∠BEF，∠FBD=∠EBF，
∴△BDF∽△BFE，
∴DF：EF=BD：BF，即9：BE=3：4，
∴BE=12，
∴DE=BE-BD=12-9=3，
∴DF=

9

5

，EF=

12

5

∴AD=2DF=2×

9

5

=

18

5

作AH⊥BE，
∴EF×AD=DE×AH，
∴AH=EF×

AD

DE

=

216

75

，
∴S_△ABD=

1

2

BD×AH=

1

2

×9×

216

75

=12.96．

点评：本题考查了圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及垂直的判定和性质，题目的综合性较强，对学生的解题能力要求很高．