Question

【题目】已知，如图，ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．

（1）求证：BE⊥CF；
（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？
（直接写出答案）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线

∴∠EBC+∠FCB=90°

∴∠BOC=90°

故BE⊥CF

（2）解：AF=DE

理由如下：

∵AD∥BC

∴∠AEB=∠CBE

又∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE=∠CBE

∴∠AEB=∠ABE

∴AB=AE

同理CD=DF

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD

∴AE=DF

∴AF=DE

（3）解：当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形
【解析】（1）平行四边形中邻角互补，且BE、CF分别为一组邻角的平分线，所以BE和CF垂直．（2）在三角形AEB中，因为BE为平分线，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．（3）当△BOC为等腰直角三角形时，即∠BOC=90°，由题可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一个角是直角的平行四边形为矩形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的判定与性质的相关知识，掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积，以及对矩形的判定方法的理解，了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．