Question

【题目】已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．

（1）求证：PB＝QC；

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；

（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.

直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．

（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中

，

∴△BAP≌△CAQ（SAS），

∴PB=QC；

（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，

∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，

∵∠APB=150°，

∴∠PQC=150°﹣60°=90°，

∵PB=QC，

∴QC=4，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC===5．