Question

如图1，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，CD∥AB，点M、N是射线CD、线段AC上的动点，且AN=CM=t，ME∥BC交线段AC于点O，连接MN．
（1）用含t的代数式表示MO；
（2）求t为何值时，△MON的面积为

3

2

．
（3）连接NE，试求当t为何值时，△MNE与△MON相似．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）证明四边形BCMF是平行四边形，ME=BC=6，∠ABC=∠CMO；证明CO=CM=AN=t，AO=AC-CO=5-t；证明

EO

BC

=

AO

AC

，即可解决问题．
（2）如图2、图3，作辅助线，证明△ACH∽△NOG，利用相似三角形的性质求出OG（用t表示）的长度，根据面积公式列出方程即可解决问题．
（3）运用相似三角形的性质，列出比例式构造关于t的方程，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵CD∥AB，ME∥BC
∴四边形BCMF是平行四边形，
∴ME=BC=6，∠ABC=∠CMO；
∵ME∥BC，
∴∠MOC=∠ACB，∠AOE=∠ACB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
∴∠CMO=∠MOC，
∴CO=CM=AN=t，
∴AO=AC-CO=5-t；
∵ME∥BC，
∴

EO

BC

=

AO

AC

，
∴

EO

6

=

5-t

5

，
∴EO=

6(5-t)

5

，
∴OM=ME-EO=6-

6(5-t)

5

=

6t

5

；

（2）如图2，过点A作AH⊥BC于H，过点N作NG⊥EM于G，
则∠NGO=∠AHC=90°，
∵EM∥BC，
∴∠NOG=∠ACB，
∴△ACH∽△NOG，
∴

NG

AH

=

ON

AC

；
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CH=

1

2

BC=3，∠ABC=∠ACB，
∴AH=

AC2-CH2

=4；
∵EM∥BC，
∴∠MOC=∠ACB，∠NOG=∠ACB；
∵AB∥CF，ME∥BC，
∴∠ABC=∠CME，
∴∠CME=∠MOC，
∴CO=CM=t，
①如图2，当0＜t＜

5

2

时，
NO=AC-AN-CO=5-2t，
∴

NG

4

=

5-2t

5

，
∴NG=

4(5-2t)

5

，
∴S=

1

2

•

6t

5

•

4(5-2t)

5

=

3

2

，
∴t=

5

4

，

②如图3，当

5

2

＜t＜5时，
NO=AN+CO-AC=2t-5，
∴

NG

4

=

2t-5

5

，
∴NG=

4(2t-5)

5

，
S=

1

2

•

6t

5

•

4(2t-5)

5

=

3

2

，
∴t=

5+5 2

4

，t=

5-5 2

4

（不符合题意，舍去），
∴当t=

5

4

或t=

5+5 2

4

时，△MON的面积为

3

2

．

（3）如图2，若△MNE∽△MON，
∴

MN

MO

=

ME

MN

，
∴MN²=MO•ME，
∵MN²=MG²+NG²，MG=

1

2

BC=3，
∴[

4

5

（5-2t）]²+3²=

6

5

t×6，
解得t₁=

25

16

，t₂=

25

4

（不符合题意，舍去），
图3的情况与图2相同，
∴当t=

25

16

时，△MNE与△MON相似．

点评：该题以三角形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质、勾股定理等重要几何知识及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．