已知二次函数L1:y1=x2+6x+5k和L2:y2=kx2+6kx+5k.其中k≠0.1．(1)写出有关二次函数L1和L2两条共有的性质结论．(2)若两条抛物线L1和L2相交于点E.F.当k的值发生变化时.请判断线段EF的长度是否发生变化.并说明理由．中.若二次函数L1 的顶点为M.二次函数L2的顶点为N． ①当k为何值时是.点M与N关于直线EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

已知二次函数L₁：y₁=x²+6x+5k和L₂：y₂=kx²+6kx+5k，其中k≠0，1．
（1）写出有关二次函数L₁和L₂两条共有的性质结论．
（2）若两条抛物线L₁和L₂相交于点E，F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由．
（3）在（2）中，若二次函数L₁ 的顶点为M，二次函数L₂的顶点为N．
①当k为何值时是，点M与N关于直线EF对称？
②是否存在实数k，使得MN=2EF？如果存在，求出实数k；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）只需从二次函数的对称轴、与y轴的交点等角度考虑就可解决问题；
（2）可令y₁=y₂，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题；
（3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题．

解答：解：（1）二次函数L₁和L₂两条共有的性质是：
①它们的对称轴相同，都是x=-3，
②它们的图象与y轴的交点都是（0，5k）；

（2）线段EF的长度不发生变化．
理由：当y₁=y₂时，x²+6x+5k=kx²+6kx+5k，
整理得：（k-1）（x²+6x）=0．
∵k≠1，∴x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=-6．
不妨设点E在点F的左边，
则点E的坐标为（-6，5k），点F的坐标为（0，5k），
∴EF=|0-（-6）|=6，
∴线段EF的长度不发生变化．

（3）①由y₁=x²+6x+5k=（x+3）²+5k-9得M（-3，5k-9），
由y₂=kx²+6kx+5k=k（x+3）²-4k得N（-3，-4k）．
∵直线EF的关系式为y=5k，且点M与N关于直线EF对称，
∴-4k-5k=5k-（5k-9），
解得：k=-1，
∴当k为-1时，点M与N关于直线EF对称．
②∵MN=|（5k-9）-（-4k）|=|9k-9|，MN=2EF=12，
∴|9k-9|=12，
解得k₁=

，k₂=-

，
∴实数k为

或-

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>