【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,OA1交AB于点E,OC1交BC于点F.
(1)求证:△AOE≌△BOF;
(2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方形A1B1C1O绕O点转动,两个正方形重叠部分的面积等于多少?
【答案】(1)证明见解析;(2)S四边形OEBF=a2.
【解析】
(1)由题意得OA=OB,∠OAB=∠OBC=45°,又因为∠AOE+∠EOB=90°,∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF,根据ASA证明△AOE≌△BOF全等即可;(2)由(1)得△AOE≌△BOF,进而可知S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2
(1)证明:在正方形ABCD中,AO=BO,∠AOB=90°,∠OAB=∠OBC=45°,
∵∠AOE+∠EOB=90°,∠BOF+∠EOB=90°,
∴∠AOE=∠BOF.
在△AOE和△BOF中,∠OAE=∠OBF=45°,OA=OB,∠AOE=∠BOF,
∴△AOE≌△BOF;
(2)两个正方形重叠部分面积等于a2,
∵△AOE≌△BOF,
∴S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=a2.
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【题目】点A1,A2,A3,…,An(n为正整数)都在数轴上,点A1在原点O的左边,且A1O=1;点A2在点A1的右边,且A2A1=2;点A3在点A2的左边,且A3A2=3;点A4在点A3的右边,且A4A3=4;…,依照上述规律,点A2018,A2019所表示的数分别为( )
A. 2018,﹣2019B. 1009,﹣1010C. ﹣2018,2019D. ﹣1009,1010
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【题目】在□ABCD,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以线段AB为边向外作等边△ABD,点E是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证:四边形BCFD为平行四边形;
(2)若AB=6,求平行四边形BCFD的面积.
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【题目】如图是乐乐设计的智力拼图玩具的一部分,现在乐乐遇到了两个问题,请你帮助解决:已知:如图,,
(1)若,求的度数;请填空.
解:(1)过点作直线(如图所示).
因为(已知),
所以(平行于同一条直线的两条直线平行).
因为,
( ),
又因为 = 60°(等量代换),
所以 °(等式性质)
(2)直接写出∠B、∠D与∠BFD之间的数量关系. .
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【题目】为了进一步了解八年级学生的身体素质情况,体育老师对八年级(1)班50名学生进行一分钟跳绳次数测试,以测试数据为样本,绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图(如图).
组别 | 次数(x) | 频数(人数) |
第1组 | 80≤x<100 | 6 |
第2组 | 100≤x<120 | 8 |
第3组 | 120≤x<140 | a |
第4组 | 140≤x<160 | 18 |
第5组 | 160≤x<180 | 6 |
请结合图表完成下列问题:
(1)表中的a=________;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)若规定:x<120为不合格;120≤x<140为合格;140≤x<160为良;x≥160为优.根据以上信息,请你给学校或八年级同学提一条合理化建议.
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【题目】早晨点,小明乘车从学校出发,去卧龙大熊猫自然保护区参观,当天按原路返回.如图,是小明出行的过程中,他距卧龙大熊猫自然保护区的距离(千米)与他离校的时间(小时)之间的图象.根据图象,完成下面问题:
(1)小明乘车去保护区的速度是_________千米/小时,线段所表示的与的关系式是_________;
(2)已知下午点,小明距保护区千米,问他何时才能回到学校?
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