如图.O是等边△ABC中一点.OA=2.OB=3.∠AOB=150°.∠BOC=115°.将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△CO′B.下列说法中:①OC的长度是$\sqrt{13}$,②${S {△ABO}}+{S {△BOC}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}+3$,③${S {△AOC}}-{S {△AOB}}=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}$,④以线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

如图，O是等边△ABC中一点，OA=2，OB=3，∠AOB=150°，∠BOC=115°，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△CO′B，下列说法中：
①OC的长度是$\sqrt{13}$；
②${S_{△ABO}}+{S_{△BOC}}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}+3$；
③${S_{△AOC}}-{S_{△AOB}}=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}$；
④以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各内角大小分别为90°，55°，35°；
⑤△AOB旋转到△CO'B的过程中，边AO所扫过区域的面积是$\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$．
说法正确的序号有①②④．

分析 ①连接OO′，由旋转的性质可得△BOO′是等边三角形，易得∠OO′C=150°-60°=90°，由勾股定理可得OC的长；
②由S_△ABO+S_BOC=S_△BO′C+S_△BOC=S_△BOO′+S_△OO′C，利用三角形的面积公式可得结果；
④由∠OO′C=150°-60°=90°，∠BOO′=60°，∠BOC=115°，易得∠O′OC和∠OCO′；
③过点A作AE⊥BO交BO的延长线于点E，由锐角三角函数可得AE，OE，易得BE，由勾股定理得AB²，从而得出△ABC的面积，由S_△AOC-S_△AOB=S_△ABC-S_△ABO-S_△BOC-S_△AOB易得结论；
⑤首先求得扇形ABC和扇形OBO′的面积，可得边AO所扫过区域的面积．

解答解：①连接OO′，
∵△ABC是等边三角形，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△CO′B，
∴∠OBO′=60°，OB=O′B=3，∠AOB=∠CO′B=150°，AO=CO′=2，
∴△BOO′是等边三角形，
∴∠OO′B=60°，OO′=BO=3，
∴∠OO′C=150°-60°=90°，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{{OO′}^{2}{+CO′}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故①正确；
②S_△ABO+S_BOC=S_△BO′C+S_△BOC=S_△BOO′+S_△OO′C
=$\frac{1}{2}×BO×BO′×sin60°$+$\frac{1}{2}$×CO′×OO′
=$\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$$+\frac{1}{2}×2×3$
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}+3$，
故②正确；
④在Rt△OO′C中，
∵∠BOC=115°，∠BOO′=60°，
∴∠O′OC=115°-60°=55°，
∴∠OCO′=180°-90°-55°=35°，
故④正确；
③过点A作AE⊥BO交BO的延长线于点E，
∵∠AOB=150°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴AB²=BE²+AE²=${（3+\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}$=13$+6\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²•sin60°=$\frac{1}{2}×（13+6\sqrt{3}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{4}+\frac{9}{2}$，
S_△AOC=S_△ABC-（S_△ABO+S_BOC）=$\frac{13\sqrt{3}}{4}+\frac{9}{2}$-（$\frac{9\sqrt{3}}{4}+3$）=$\sqrt{3}+\frac{3}{2}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}×AO×BO×sin30°$=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOC-S_△AOB=$\sqrt{3}+\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$，
故③错误；
⑤∵S_扇形ABC=$\frac{60°•π{•AB}^{2}}{360°}$=$\frac{（13+6\sqrt{3}）π}{6}$，
S_△AOB=S_△CO′B=$\frac{3}{2}$，
S_扇形OBO′=$\frac{60°•π{•BO}^{2}}{360°}$=$\frac{3π}{2}$，
∴边AO所扫过区域的面积是：S_扇形ABC+S_△BO′C-S_△AOB-S_扇形OBO′
=S_扇形ABC-S_扇形OBO′
=$\frac{13π}{6}$$+\sqrt{3}π$-$\frac{3π}{2}$
=$\frac{2π}{3}$$+\sqrt{3}π$，
故⑤错误，
∴正确的序号有①②④，
故答案为：①②④．

点评本题主要考查了扇形的面积公式，三角形的面积，勾股定理及不规则图形的面积的运算，数形结合，将不规则图形的面积化为规则图形的面积是解答此题的关键．

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