Question

11．如图所示，在△ABC中，CD、BE是△ABC的外角平分线，BD为∠ABC的平分线，CE为∠ACB的平分线，BE、CE交于点E，BD、CD交于点D，试探索∠D与∠E的关系．

Answer 1

分析 首先根据CD、BE是△ABC的外角平分线，判断出∠FBE=∠EBA，∠ACD=∠DCG；然后根据BD为∠ABC的平分线，CE为∠ACB的平分线，判断出∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE；最后判断出∠FBE+∠CBD=∠GCD+∠BCE=90°，即可判断出∠D=∠E．

解答 解：如图，，
∵CD、BE是△ABC的外角平分线，
∴∠FBE=∠EBA，∠ACD=∠DCG；
∵BD为∠ABC的平分线，CE为∠ACB的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE；
∴∠FBE+∠CBD=∠EBA+∠ABD，
又∵∠FBE+∠CBD+∠EBA+∠ABD=180°，
∴∠FBE+∠CBD=180°÷2=90°；
∴∠GCD+∠BCE=∠ACD+∠ACE，
又∵∠GCD+∠BCE+∠ACD+∠ACE=180°，
∴∠GCD+∠BCE=180°÷2=90°；
∴∠FBE+∠CBD=∠GCD+∠BCE，
∴∠GCD-∠CBD=∠FBE-∠BCE，
即∠D=∠E．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题主要考查了三角形的外角性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．