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【题目】如图1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.

(1)如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;

(2)若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)BM=FN,证明见解析;(2)BM=FN仍然成立,证明见解析.

【解析】试题分析:(1)根据正方形和等腰直角三角形的性质可证明OBM≌△OFN,所以根据全等的性质可知BM=FN;

(2)同(1)中的证明方法一样,根据正方形和等腰直角三角形的性质得OB=OF,MBO=NFO=135°,MOB=NOF,可证OBM≌△OFN,所以BM=FN.

试题解析:

(1)BM=FN.

证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,

∴∠ABD=F=45°,OB=OF.

又∵∠BOM=FON,

∴△OBM≌△OFN.

BM=FN.

(2)BM=FN仍然成立.

证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,

∴∠DBA=GFE=45°,OB=OF.

∴∠MBO=NFO=135°.

又∵∠MOB=NOF,

∴△OBM≌△OFN.

BM=FN.

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