Question

【题目】如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．

（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：

①　 　∽　 　_，②　 　∽　 　，选择其中一对加以证明；

（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；

②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①当t=时，△DAM∽△MBN；当t=﹣3时，△DAM∽△NBM；②当a=时，△DAM∽△MBN∽△DCN．

【解析】分析：（1）首先可得有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三对相似；然后选择其中的一对证明即可，注意应用矩形的性质，特别是同角或等角的余角相等的性质的应用；

（2）①如图2可得AM=t，MB=5﹣t，BN=t（0＜t＜5），然后分两种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3时，△DAM∽△MBN；（Ⅱ）当∠2=∠3时，△DAM∽△NBM去分析根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解方程即可求得答案；

②分四种情况去分析：（Ⅰ）当∠1=∠3=∠6时，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，（Ⅱ）当∠1=∠3=∠5时，（Ⅲ）当∠2=∠3=∠6时，（Ⅳ）当∠2=∠3=∠5时，△DAM∽△NBM∽△DCN，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可求得答案．

详解：（1）有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三对相似；

选△DAM∽△MBN，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠ADM=90°﹣∠AMD．∵DM⊥MN，∴∠BMN=180°﹣90°﹣∠AMD=90°﹣∠AMD，∴∠ADM=∠BMD，∴△DAM∽△MBN；

选△DAM∽△DMN，证明：延长NM交DA的延长线于E点，如图1．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠EAM=∠B=90°．又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，∴△AME≌△BMN，∴EM=MN．又∵DM⊥MN，∴DE=DN，∴∠ADM=∠NDM．又∵∠DAM=∠DMN=90°，∴△DAM∽△DMN；

选△DAM∽△MBN，证明：延长MN交DA的延长线于E点，如图1．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠EAM=∠B=90°．又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，∴△AME≌△BMN，∴EM=MN，∠E=∠MNB．又∵DM⊥MN，∴DE=DN，∴∠E=∠DNM，∴∠DNM=∠MNB．又∵∠DMN=∠B=90°，∴△DMN∽△MBN；

（2）①如图2，AM=t，MB=5﹣t，BN=t（0＜t＜5），分两种情况：

（Ⅰ）当∠1=∠3时，△DAM∽△MBN，∴，解得：t=。

（Ⅱ）当∠2=∠3时，△DAM∽△NBM，∴，∴AMBN=ADBM，∴t×t=3（5﹣t），解得：t3=﹣3，t4=﹣﹣3（不合题意舍去）。

∴当t=时，△DAM∽△MBN；当t=﹣3时，△DAM∽△NBM．

②分四种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3=∠6时，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，由，得：BN=，∴CN=，由，得：CNMB=DCBN，∴﹣（5﹣t）=5﹣，化简得：t2﹣10t+9=0，解得：t1=1，t2=9（不合题意舍去），a=；

（Ⅱ）当∠1=∠3=∠5时．∵∠5+∠6=90°，∴∠1+∠6=90°，（与已知条件矛盾）， 所以此时不存在．

（Ⅲ）当∠2=∠3=∠6时，方法一：∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°，（与已知条件矛盾）所以此时不存在．

方法二：由，得：BN=，∴CN=，由，得：CNMB=DCBN，∴（5﹣t）=5﹣，解得：t=5（不合题意舍去），所以此时不存在．

（Ⅳ）当∠2=∠3=∠5时，△DAM∽△NBM∽△DCN，由（Ⅲ）得BN=，∴CN=，由，得：CNNB=DCBM，∴﹣=5（5﹣t），化简得：5t2﹣18t+45=0方程没有实数根，所以此时不存在．

综上所述：当a=时，△DAM∽△MBN∽△DCN．