Question

【题目】我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈ = =3，那么当n=12时，π≈ = ． （结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）

Answer 1

【答案】3.10
【解析】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°， 作BC⊥AO于点C，则∠ABC=15°，

∵AO=BO=r，
∴BC= r，OC= r，
∴AC=（1﹣ ）r，
∵Rt△ABC中，cosA= ，
即0.259= ，
∴AB≈0.517r，
∴L=12×0.517r=6.207r，
又∵d=2r，
∴π≈ = ≈3.10，
故答案为：3.10
圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到π≈ = ≈3.10．