Question

3．如图，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A，E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE与AD是否相等？为什么？
（2）求证：AC是线段DE的垂直平分线；
（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BC⊥AB，DA⊥AB，CE⊥BD，得到∠ADB=∠EBC=∠COB=90°，根据余角的性质得到∠ABD=∠BCE，证得△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由线段垂直平分线的性质结论；
（3）根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）AD=BE，
理由：∵BC⊥AB，DA⊥AB，CE⊥BD，
∠ADB=∠EBC=∠COB=90°，
∴∠ABD+∠CBD=∠OCB+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EBC}\\{AB=BC}\\{∠ABD=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴AD=BE，

（2）∵AE=BE，∴AD=AE，
∵DA⊥AB，
∴∠EAD=90°，
∴∠CAB=∠DAC=45°，
∴AC垂直平分DE，

（3）∠DBC=∠DCB，
理由：∵AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∵CE=BD，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等式的性质，特别注意等量之间的代换．